ランダムウォークの性質

講義

ランダムウォークの性質

1次元空間にある粒子が正の方向に確率 $p$ で移動し， 負の方向に確率 $q=1-p$ で移動するものとする． 初めに時刻 $\Delta \tau$ 毎に一歩( $\Delta \xi$)動く粒子を考える． 前回の結果から，粒子の位置のばらつきは時間とともに大きくなる ことがわかった． この粒子が時刻 $t = M \Delta \tau$ に位置 $n \Delta \xi$ に いる確率 $W(M, n)$ は，二項分布を用いて，

$$W(M, n) = {}_MC_{\frac{M+n}{2}} p^\frac{M+n}{2} q^\frac{M-n}{2}$$ (3.1)

と表すことができる． 今回は，この式の性質について考えてみる． $p=q=1/2$のとき，上の確率分布は $M$ が非常に大きいときには公式

$$n! \simeq \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}$$ (3.2)

を用いて，

$$W(M, n) \simeq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi M}} e^{-n^2/2M}$$ (3.3)

という平均 0 分散 $M$ 正規分布で表されることが 知られている(これは中心極限定理のひとつの例である)． 正規分布は拡散方程式の解であることが知られている． そこで Wiener 過程と拡散方程式の関係について調べてみる． この式は $n=-\infty$ から $n=\infty$ まで積分すると 2 となる ことが確かめられる．これは $M$ が奇数のときと偶数のときの 両方を同時に考えてしまっているためである． 規格化するためには， $2 \Delta t$の時間間隔で奇数と偶数の両方を 考えていると理解して，区間の分割数を２倍することになることを 考慮して，得られた確率密度関数を２で割るなどといった処理が 必要となってくる．

Langevin 方程式

確率過程で表される非斉次項を持つ微分方程式を Langevin 方程式という． 今回のモデルについて Langevin 方程式を導いてみる． 時刻 $i \Delta \tau$ における位置を $X_i$ とおくと，

$$X_i -X_{i-1}=\Delta X_i$$ (3.4)

である． $\Delta X_i$ は $\Delta \xi$ または $-\Delta \xi$ を とる．この2つの値の取り方は独立である．両辺を $\Delta \tau$ で 割ると

$$\frac{X_i -X_{i-1}}{\Delta \tau}=\frac{\Delta X_i}{\Delta \tau}$$ (3.5)

$\Delta \tau \to 0$ の極限をとると

$$\frac{dX}{dt}=P(t)$$ (3.6)

となる．$P(t)$ は白色ノイズと呼ばれる，相関のないでたらめな 量がぎっしりと集まった量である（相関がないのでパワースペクトルを求めると すべての Power が同じ程度の大きさになる）． そして， $X(t)$ はこのようなでたらめな力を足し合わせたものである． この方程式の解を Wiener 過程という． すなわち，ランダムウォークを $\Delta t \to 0$ の極限をとって 理想化したものとして Wiener 過程は取り扱われる． 実は，この理想化には注意が必要であることが，次の話から 理解できる筈である．

Fokker-Plank 方程式

Langevin 方程式が与えられたとき，Langevin 方程式の解の 確率密度関数が満たす方程式を Fokker-Plank 方程式という． はじめに，連続極限を取る前の解が満たす関係式として，

$$W(M, n) = pW(M-1, n-1) + q W(M+1, n-1)$$ (3.7)

がある． $\Delta \tau$ と $\Delta \xi$ を用いて $x=n\Delta \xi$， $t = M \Delta \tau$ とおくと， $w(x,t)=W(M,n)$ として，上述の関係式は

$$w(x,t+\Delta \tau )=pw(x-\Delta \xi , t)+qw(x+\Delta \xi, t)$$ (3.8)

と表される．左辺を $t$ について，右辺を $x$ について Taylor 展開して

$$\frac{\partial w(x,t)}{\partial t} = (q-p) \frac{\Delta \xi}{\D... ...x} + \frac{(\Delta \xi)^2}{2\Delta \tau}\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}$$ (3.9)

である．$(p-q)$ が $\Delta \xi$ のオーダーのときに $(\Delta \xi)^2/\Delta \tau$ が有限ににあるように しながら $\Delta \xi \to 0$ および $\Delta \tau$ の極限をとる． $\Delta \tau$ の極限をとったときのランダムウォークを Wiener 過程と 呼ぶ．このとき，

$$\frac{\partial w(x,t)}{\partial t} = -2c\frac{\partial w(x,t)}{\partial x} + D\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}$$ (3.10)

これは， Wiener 過程の確率密度関数が 拡散方程式の解であることを示すものである． ここで $c=(p-q)\Delta \xi / (2 \Delta \tau)$ であり， $D=(\Delta \xi)^2/2(\Delta \tau)$ である． $c$をドリフト(漂速) $D$ を拡散係数という．

Wiener 過程の重要性

Wiener 過程の重要性は Langevin 方程式の形からも Fokker-Plank 方程式の 形からも理解できる．Langevin 方程式の形は， Wiener 過程が白色ノイズを 含んだ方程式の中でもっとも単純なものであることを示している．この方程式 の解は他の Langevin 方程式を解くときに重要な役割を持っている． また， Fokker-Plank 方程式の形は，ランダムウォーカーの分布を考える ことで拡散方程式の解が得られることを示してる．ある種の拡散の問題では 拡散方程式を解くよりもランダムウォーカーの振る舞いを計算し，その分布を 求めた方が容易であることがある．

課題

課題3 ランダムウォーカーの分布

課題2-2で作った複数のランダムウォーカーの軌跡から， その分布を調べてみよう．具体的には課題2-2で作ったプログラムの ランダムウォーカーの数を多くして，その頻度分布または確率密度分布を 表すプログラムを作ろう． プログラムが完成したら，4歩，32歩，128歩，512歩のときの 頻度分布または確率密度分布をグラフに表そう．

プログラムの例(課題3)

結果

課題3