標準 Wiener 過程

講義

標準 Wiener 過程

前回の計算でわかったように Wiener 過程の確率密度分布は，

$$p(M,n)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi M}} \exp\left(-\frac{n^2}{2M}\right)$$ (4.1)

で与えられる．ここで $M$ と $n$ は，時間と距離に対応し， これは，歩いた回数と位置を歩いた数で表したものである． つまり，歩いた回数が与えられれば，確率密度の形は 歩数で表された位置に対して不変である． しかし，実際に我々が考えるのは，実際の時間と距離である． これは一歩にかかる時間と一歩の距離を $\Delta \tau$ および $\Delta \xi$ とおいて，時間 $t$ と 位置 $x$ を $t = M \Delta \tau$， $x=n\Delta \xi$ と表して処理をすればよい． 時刻 $t$ においてランダムウォーカーが $x+dx$ の 範囲にいる確率を

$$p(t,x)dx$$ (4.2)

とおく．このとき，上の関係から，区間[$x$,$x+dx$] の 間に存在する点の個数が $M$ が偶数と奇数の違いで半分になることから，

$$p(t,x)dx=p(M,n)dx/(2\Delta \xi)$$ (4.3)

となる．これを用いると，

$$p(t,x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi t}}\sqrt{\frac{\Delta \tau}{\Delta \xi^2}} \exp\left(-\frac{x^2}{2t} \frac{\Delta \tau}{\Delta \xi^2} \right)$$ (4.4)

となる．これは， $\Delta \tau$ と $\Delta \xi$ の取り方によって 同じ時間でも分布関数の形が変わることを意味しており，実際に 用いる場合，細かく見るために $\Delta \tau$ を変更すると， 同一な時間だけ経過しているにもかかわらず，違う分布が得られる ことになり問題が残る．そこで， 期待している確率過程を表現するためには，どのように $\Delta \tau$ と $\Delta \xi$ を選べばよいのかを 考えてみる． 上の確率密度関数は $\exp (-x^2/2 (\Delta \tau/t\Delta \xi^2))$ に 比例しているので，分散は $t \Delta \xi^2 /\Delta \tau$ である． そこで $\Delta \xi^2 / \Delta ^\tau =1$ となるような確率過程を 考えることにする．すなわち， 時刻 $t$ における分散が $t$ であるような Wiener 過程である． このような過程のうち， $\Delta \tau \to 0$ とした理想的な 確率過程を標準 Wiener 過程$B_t$という． 標準 Wiener 過程の正しい定義は次のようなものである．

このとき有限な $\Delta \tau$ と $\Delta \xi$ は，標準 Wiener 過程の 良い近似となる．この近似をプログラムで実現しようと考えたときの $\Delta \tau$ と $\Delta \xi$ の選択肢は無限にある．例えば， $\Delta \tau =1$ および $\Delta \xi =1$ というのも 標準 Wiener 過程 の実現方法のひとつである． すなわち，これまでの計算は標準 Wiener 過程（の近似の一種）を 計算していたことになる． シミュレーションを行う場合には，必ず特徴的な時間が存在し， その時間を十分に細かく分割することに よって正しい結果が得られる．例えば，特徴的な時間を 1 時間とする． この時間でシミュレーションを行うときに，1時間に一度の乱数を 発生させるのでは，十分とはいえない．言い換えれば， 1 時間分の シミュレーションを行うのに $\Delta \tau =1$ 時間にするわけには いかない． そこで， $\Delta \tau$ は 1 より小さい時間にするのが流儀となる． このとき，標準 Wiener 過程を実現するためには $\Delta \tau$ を 与えたあとで歩幅を

$$\Delta \xi = \sqrt{\Delta \tau}$$ (4.5)

に変更することによって，標準 Wiener 過程を実現することになる． 結果的に，標準 Wiener 過程 $W_t$ は，次のアルゴリズムによって 任意の時間間隔 $\Delta \tau$ について計算することができる．

$$W_{t+\Delta \tau} = W_t + \Delta \xi \xi_t = W_t + \sqrt{\Delta \tau}\xi_t$$ (4.6)

ここで $\xi_t$ は時刻 $t$ において発生させた擬似乱数であり， 1 または -1 が等確率で発生されるものである．

標準 Wiener 過程を作るもうひとつの方法

中心極限定理を応用することによって，別の方法でも標準 Wiener 過程を 作ることができる．例えば，区間 $[0,1)$ で一様分布する乱数 $\xi$ を 使う方法について考えてみる．この乱数の平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ は

$$\mu = \frac{\int_0^1 \xi d\xi }{\int_0^1 d\xi} = \frac{(1^2-0^2)/2}{1-0} = 1/2$$ (4.7)

$$\sigma^2 = \frac{\int_0^1 (\xi-\mu)^2 d\xi }{\int_0^1 d\xi} = \frac{\left\{(1/2)^3-(-1/2)^3\right\}/3}{1-0} = 1/12$$ (4.8)

であることに注意する．従って， $\eta=\sqrt{12}(\xi-1/2)=2\sqrt{3}(\xi-1/2)$ という乱数列は平均 0 分散 1 となる． 中心極限定理によって，この乱数の $n$ 個の和の平均 $r$ が従う確率密度関数は，

$$\sqrt{\frac{n}{2 \pi}} \exp\left(-\frac{nr^2}{2} \right)$$ (4.9)

であることがわかる．今， $t=n \Delta \tau$ および $x_n\Delta x = r n$ と変数変換して，新しい変数 $x_n$ の確率密度を求めると，

$$\frac{\Delta x}{\sqrt{2\pi n}} \exp \left(-\frac{1}{2}\frac{(x_... ...\pi t}} \exp \left(-\frac{1}{2}\frac{(x_n \Delta x)^2 \Delta \tau}{t} \right)$$ (4.10)

この分布が分散が $t$ であるためには

$$\Delta x^2 \Delta \tau =1$$ (4.11)

であればよい．すなわち，

$$\Delta x=\sqrt{1/\Delta \tau}$$ (4.12)

である．この変数 $x_n$ は平均 0 分散 $t$ であり， $n$ 個の乱数 $\eta$ の和を 用いて表されている．つまり $n$ 個の乱数の和で表された確率過程 (標準 Wiener 過程)である． 具体的には，

$$x_n \Delta x = \frac{x_n}{\sqrt{\Delta \tau}}=n r = \sum_{i=1}^n \eta_i$$ (4.13)

であることから，これを $x_n$ についての式に直し，$\eta$ を $\xi$ に戻すと，

$$x_n =\sqrt{\Delta \tau} \sum_{i=1}^n \eta_i = \sqrt{\Delta \tau} \sum_{i=1}^n 2\sqrt{3}(\xi_i-1/2)$$ (4.14)

となる．これは，標準 Wiener 過程が

$$W_{t+\Delta \tau}=W_t +\sqrt{\Delta \tau} 2 \sqrt{3}(\xi_t-1/2)$$ (4.15)

と表現できることを意味している．ここで $\xi_t$ は，時刻 $t$ に おいて発生した区間 $[0,1)$ の一様乱数である．

課題

課題4-1 標準 Wiener 過程の計算（その１）

課題２の Wiener 過程をプログラムを修正して，標準 Wiener 過程を $t=0$ から $t=1$ まで計算するプログラムを作ろう．ただし，分割数 $n$ を与えると $\Delta \tau=1/n$ によって $\Delta \tau$ が 決まるものとする．また，アルゴリズムには

$$W_{t+\Delta \tau} = W_t + \Delta \xi \xi_t = W_t + \sqrt{\Delta \tau}\xi_t$$ (4.16)

を用いること．

課題4-2 標準 Wiener 過程の計算（その２）

アルゴリズム

$$W_{t+\Delta \tau}=W_t +\sqrt{\Delta \tau} 2 \sqrt{3}(\xi_t-1/2)$$ (4.17)

を用いて，一様乱数による標準 Wiener 過程を作成し，結果を 課題4-1と比較してみよう．

課題4-3 標準 Wiener 過程の統計的な性質

課題4-1や課題4-2で得られた標準 Wiener 過程の平均と分散の 時間変化を調べてみよう． このときに，１）平均と分散が時間の分割の仕方に依存しないこと ２）サンプルの個数が少ないと理論値とずれることを 確かめよう．

課題4-4 標準 Wiener 過程の分布

課題4-1や課題4-2で得られた標準 Wiener 過程の確率密度分布を 課題3で作成したプログラムをもとにして求めてみよう．

プログラムの例(課題4)

課題4-1

課題4-2

課題4-3

課題4-4

結果

課題4-1

課題4-2

課題4-3

課題4-4