つながりかたの科学（工事中）

はじめに

残念ながら私たちは孤立して生きていくことは不可能である． 必ず誰かと（何かと）接しなければ生きていけない． 人に限らず，すべてのモノは互いに影響を及ぼしあっている． そのため，何と何が繋がっているのか， どのように繋がっているのかということは， 世界を見る上でひとつの重要な要素となりえる． この模擬講義では，物事を理解する上で 「つながり方」がいかに重要なのかということを考えていく．

注意： これは平成１７年３月１２日に茨城県の 清真学園高等学校で 実施した模擬講義の内容を HTML 化したものです． ここに記した情報は最新のものではなく， すべて講義を行った当時のものであることを断っておきます． また，著作権の関係で一部の図表を手直ししています． このメモは全２回の講義の第二回目に相当しています． そのために，最初の部分は第一回の内容の復習が含まれています． 第一回の講義内容の HTML 化は，第二回ほど目新しいものではないので， 時間があるときに検討します．

目次

1. ランダム・ウォーク（前回の復習）
2. 壁面にみられる「染み」の話
3. 「小さな世界（small world）」の話
4. 囚人のジレンマ
5. 生態系

ランダムウォーク（前回の復習）

ランダムウォーク

次のような問題を考えてみよう． 「酔っ払いが道を歩いてるものとする． 彼は記憶がないほど酔っ払っているので， 前に進む確率と後ろに戻る確率が五分五分である． 例えば，１０秒に１歩歩くとき， 酔っ払いは１分後にスタート地点から 与えられた距離だけ離れている確率はいくらか？ １０分後では？１時間後では？１日後では？」

ランダムウォークの作り方（１次元）

上の問題のように酔っ払いの歩き方の数学モデルを ランダムウォーク（random walk, 酔歩）と呼ぶ． このランダムウォークについて調べてみることにする． これは，各時刻において次のふたつのステップを 実行することによって作られる．

1. でたらめに -1 または 1 を発生させている．
2. 直前の値に上で得られた値を加える．

上のふたつの図は直線上（一本道の上）のランダムウォーク （酔っ払い歩き）を表計算ソフトで計算した例である．表計算ソフトで計算するためには，まず 時間を区切らなければならない．図で言えば一歩にかかる時間を１とおいて，最初に歩き出したときからどれだけの時間が経っているのかを横軸に表したと考える．上の図では，その１区切りごとに１回ずつでたらめに -1 または 1 を発生させている（コンピュータで「でたらめ」を発生させることにもテクニックがあるのだけど，それは別の機会に）．下の図が酔っ払いが80歩歩いたときの酔っ払いの位置の変化を表している． ランダムウォーカーの動きは，行ったり来たりなんだけど，ジグザグばかりじゃない．そのあたりが微妙で面白い．

ランダムウォーカーの確率分布

ランダムウォーカーが位置 x にいる確率 P(x) は二項分布なのでやはり表計算ソフトを用いて容易に計算することができる．下の図は総ステップ数（経過時間）によってP(x) がどのように変わってゆくのかを示している．徐々に裾野が広がって釣鐘状になってゆく様子がわかる．

拡散過程

ランダムウォーカーの数学はいろいろな応用可能性を持っている．ここでは水の中に一滴のインクを落としたときに何が起こるのかをランダムウォーカーで調べることができるのかを考えてみる．結論を言うと，一つの場所にランダムウォークする粒子をたくさん置いて，その粒子の位置の分布が時間とともに変化する様子を計算してみればよい． インクの粒子が次々と水分子にぶつかって移動していくことを表しているからだ．

インクの拡散現象に例えると一つ前で述べたランダムウォーカーの確率分布はそのままインクの濃度に対応してゆく．二項分布を用いて擬似的に計算したインクの広がりのアニメーションを見たい場合には右の画像をクリックしてみよう．この例でもわかるように，ランダムウォークする粒子をたくさん準備することによって，物質が移動する様子をコンピュータで模倣する（シミュレートする）ことができる．

壁面にみられる「染み」の話

ここまで述べてきた前回の知識から今度は壁面にみられる染みの話を考えてみよう．

池袋の地下道Ｃ４出口

下の画像は，池袋駅地下道のC4出口の壁にある「染み」の全体の様子である．なぜか知らないけど，ここの部分だけやけに染みが多い．たぶん，染みの多いタイルを好んで張ったのだと思うのだが，このタイルの染みはどうやってできたのか（作られたのか）は謎である．そこで，ふたつの染みをピックアップして，その形成過程を考えてみることにしよう．ちなみに，この研究は，私の研究室を卒業した高橋君との共同研究である．

壁の染みの例

検討したふたつの染みを下に示す．左を「パターンその１」，右を「パターンその２」と呼ぶことにしよう．

壁の染みはどう作られるか？

おそらく拡散律速凝集だろう． 染みの元は壁の中から湧いてくるのか，外からやってくるのか？（均質モデルと境界モデル） ふたつのパターンが異なる理由は何か？（種粒子の違い）

拡散律速凝集（DLA）

結晶の成長速度が外から物質がやってくるよりも圧倒的に速いときに見られる． 種にランダムウォーカーが吸着してゆくことでモデル化できる．

1. 種粒子を準備
2. 遠くからランダムウォーカーを放出
3. ランダムウォーカーが種につくとそのランダムウォーカーも種になる
4. ２と３を繰り返す．

大規模な DLA の計算結果については ここからのリンクを参照しよう．

今回のモデル

• 均質モデル：壁面の至るところから染みはやってくる．
• 境界モデル：タイルの外側から染みはやってくる．
  • 静止核：種粒子は動かない．
  • 成長核：種粒子は成長する．

ふたつのモデルの比較

境界モデルの方が異方性が少ない． 均質モデルの方が密度が高い．

パターンその１の結果

観察と計算結果の比較

パターンその２の計算（失敗例）

モデルの改良

• これまで静止核であったが，これを成長核にして計算をしてみる．
• 酔っ払いが6000回動くたびに核をひとつ成長させる．（モデル１）
• 酔っ払いが10000回動くたびに核をひとつ成長させる（モデル２）

改良した結果

• モデル１は少し核の成長が早すぎたようだ（左上）．
• 逆に遅すぎてもイマイチである（右下）．

結果の比較

壁の染みの話のまとめ

1. 壁に見られたふたつの染みは拡散律速凝集と呼ばれているパターンで考えられる．
2. ふたつのパターンはメカニズムは同じ拡散律速凝集だが，核（凝集のもとになる部分）の形成過程が異なる．
3. 繋がるメカニズムが同じでも全体の繋がり方で見た目は異なる．

「小さな世界（small world）」の話

ケヴィン・ベーコン・ゲーム

ケヴィン・ベーコン氏はアメリカの有名な俳優である． とある大学生たちの言葉とそれに刺激を受けた別の大学生たちに よって，以下のような「ケヴィン・ベーコン・ゲーム」と 呼ばれるゲームが生まれた．

• ケヴィン・ベーコンのベーコン数はゼロ．
• ケヴィン・ベーコンの共演者のベーコン数は１．
• 共演者の共演者のベーコン数は２．
• 目的とする俳優のベーコン数は，上記の要領で競演関係の連結を計算したときの最小値．

この手順によって，共演者のネットワークをベーコン数で解析する試みがスタートした．

ベーコンの宣託

最初の大学生に刺激を受けた大学生たちが作った サイトが 「ベーコンの宣託」 というサイトである． このサイトでは色々な俳優のベーコン数が調べられる．

日本の俳優さんのベーコン数は？

データベースは日本の映画の競演関係も登録されているらしく， 日本の俳優のベーコン数も調べられる． 以下は主な（？）俳優さんたちのベーコン数である． クリックすると最新の結果が表示されるので試してみよう．

1. 最近有名な人
1. 国際派男優といえば・渡辺健（ベーコン数２）
2. マツケンサンバでおなじみ・松平健（ベーコン数３）
3. ２時間ドラマの帝王・船越英一郎（ベーコン数３）
4. ノリにノッてる女優といえば・上戸彩（ベーコン数３）
2. ベーコン数２の俳優さん
1. 北野武
2. 三船敏郎
3. ケインコスギ
4. 竹中直人

ケヴィン・ベーコン・ゲームが教えてくれること

1. 世の中は狭い （ハリウッド俳優の平均ベーコン数は 2.79 ）
• 他にも世の中が狭いことを示す例がある．
• ミルグラムの実験
• チェインメール
• せん虫の仲間の脳の構造
2. どうして世の中が狭くなるのかを考えてみる．

小さな世界（small world）

1. Watts and Strogatz が提案したネットワークモデル．
2. 規則的な連結をもつネットワークに対して少しの確率 p で既存の辺をショートカットと入れ替えることによって作られる．
3. 規則的なネットワークとランダムなネットワークと small world 構造をもつネットワークの ３種類に分類されるらしい．

Small world の特徴

1. 近傍との関係が深く２点間の平均距離も短いネットワーク構造
2. 規則的なネットワークとランダムなネットワークの両方の性質をあわせもつ（Watts and Strogatz）．

囚人のジレンマ

囚人のジレンマとは

ふたりの犯罪者が囚人となっている．ふたりは共犯であるが，双方とも黙秘を続けており事件の全容は解明されていない（嫌疑不十分）． 囚人たちは別々に取り調べ官から取引を持ちかけられる．その内容は以下のとおり．

• もしも犯罪の全容について証言するなら，今の懲役を短くし，仲間の懲役を長くしよう（情状酌量）．
• もしも君が話さない間にもう一方が証言をしたら，君の懲役が長くなり仲間の懲役が短くなる．
• もしも両方が証言したら二人とも今よりももっと思い刑になる．

さぁ，どうするべきだろうか？

ペイオフマトリクス（利得行列）

• 囚人のジレンマは一般に以下のペイオフマトリックスで表される変数の大小関係が次のような関係にあるものをいう．
• S< P< R < T
• また，第二の条件として， 2R ＞＝S+T （裏切りあっても状況は改善されない）が要求される．

囚人のジレンマの応用例

下の表のように幅広い応用例があるので，広く研究されている．

アクセルロッドの実験

• 囚人のジレンマゲームを２００回繰り返して得点を競うゲームを１５種類の戦略のリーグ戦として実施した．
• 代表的なアルゴリズムは以下の通り
  • JOSS: 最初は協調．相手が裏切ると次回は裏切り．相手が協調したら９割協調，１割裏切り．
  • TFT: 最初は協調．あとは前回の相手の手と同じ．
  • Random: でたらめ．
  • Friedman: 最初は協調．相手が一度でも裏切ると裏切り続ける．
  • Downing: 自分が協調した回の次に相手が協調する確率を見積もり，自分が裏切った回の次に相手が協調する確率を見積もる．ふたつの確率をもとにその確率どおりに相手が動くものと仮定して利得が最大になるように行動する．

実験結果